数列{an},a1=1,Sn为前n项和,已知(x+2)Sn-2xS(n-1)=x+2(x>0,n≥2)证{an}是等比

数列{an},a1=1,Sn为前n项和,已知(x+2)Sn-2xS(n-1)=x+2(x>0,n≥2)
(1)证{an}是等比
(2)设数列{an}的公比为f(x),作数列{bn},使b1=1,bn=f(b(n-1)),求和:T=1/b1b2-1/b2b3+···+(-1)~(n+1)×1/bnb(n+1)

1.求证an为等比数列
(x+2)S[n]-2xS[n-1]=x+2
(x+2)S[n]=2xS[n-1]+x+2
(x+2)S[n-1]=2xS[n-2]+x+2
相减得：
(x+2)(S[n]-S[n-1])=2x(S[n-1-S[n-2]])
(x+2)a[n]=2xa[n-1]
即a[n]/a[n-1]=2x/(x+2)
x为常数，所以a[n]是以a1=1，以2x/(x+2)为公比的数列。

2.设数列an公比为f(x),作数列bn,使b1=1,bn=f(bn-1)(n≥2且n属于N*)
T=(1/b1b2) -(1/b2b3)+1/(b3b4)-(1/b4b5)+…+[(-1)^(n-1)]*(1/bnbn+1)
f(x)=2x/(x+2)
b[n+1]=f(b[n])=2b[n]/(b[n]+2)
1/b[n+1]=1/2+1/b[n]
记c[n]=1/b[n]，则：c[1]=1/b[1]=1
c[n+1]=1/2+c[n]
所以c[n]是以1为首项，1/2为公差的等差数列。
c[n]=1+(n-1)/2=(n+1)/2
所以：b[n]=1/c[n]=2/(n+1)

T=(1/b1b2) -(1/b2b3)+1/(b3b4)-(1/b4b5)+…+[(-1)^(n-1)]*(1/bnb[n+1])
另记d[n]=[(-1)^(n-1)]*(1/b[n]b[n+1])，b[n]代入得：
d[n]=[(-1)^(n-1)]*(n+1)(n+2)/4=[(-1)^(n-1)]*(n^2+3n+2)/4
d1=3/2 d2=-3 d3=5 d4=-15/2 d5=21/2
T=S[d[n]]
奇数项为正，偶数项为负
记奇数项n=2k-1
T[2k-1]=∑((2k-1)^2+3(2k-1)+2)/4
=∑((4k^2+2k)/4=k(k+1)(2k+1)/6+k(k+1)/4=k(4k^2+9k+5)/12